Обучался в Швейцарской высшей технической школе Цюриха, ученик Хайнца Хопфа. С 1949 Борель переезжает в Париж, где становится учеником Жана Лере.
Основные работы Бореля лежат в области алгебры, в особенности теории групп Ли, где он применил спектральные последовательности Лере к вопросам топологии групп Ли, алгебраической геометрии, в особенности в теории алгебраических групп, где он плодотворно сотрудничал с Жаком Титсом (в частности за эти работы Титс получил в 2008 году Абелевскую премию) и алгебраической теории чисел.
А.Борель был племянником другого выдающегося математика — Э.Бореля, но никаких отношений с ним не поддерживал.
Участник знаменитой группы «Николя Бурбаки», причем один из немногих ее участников - не французов.
