Родился в Керри в семье Дублинского трактирщика. В 1760 году перебрался в Лондон. В 1767 напечатал свой первый роман «Мемуары одной Магдалины» (англ. «Memoirs of a Magdalen, or the History of Louisa Mildmay»), переведенный на французский язык и имевший большой успех. В 1768 была поставлена Гарриком его первая комедия «False Delicacy». Пьесы Келли часто вызывали конфликты в обществе и скандалы в театрах при постановке.
В 1774 году судебным решением на него было наложено обязательство оставить занятия литературой. Келли не нашёл другого жизненного занятия и умер в нищете.
