В 1954 году Костава и Звиад Гамсахурдиа основали подпольную молодёжную организацию «Горгаслиани». В период 1956—1958 годах члены организации, включая Коставу и Гамсахурдиа, были арестованы КГБ за антисоветскую деятельность. Среди обвинений были: распространение антикоммунистической литературы и прокламаций.
Окончил Тбилисскую консерваторию в 1962 году. В 1962—1977 годах — преподаватель музыкальной школы в Тбилиси.
В 1973 году Костава и Гамсахурдиа основали Инициативную группу по защите прав человека. В 1976 году Костава — один из основателей грузинской Хельсинкской группы (в 1989 году переименована в Грузинский хельсинкский союз). С 1975 года— член Amnesty International.
В 1977 году Костава и Гамсахурдиа были арестованы. Гамсахурдиа после официального покаяния был помилован. Костава отбывал заключение в Сибири, срок продлевался дважды, выпущен в 1987 году. После освобождения работал в журнале «Балавери» (Грузинский язык и литература в школе). С Гамсахурдиа в 1978 году они были номинированы на Нобелевскую премию мира Конгрессом США. В 1988 году Костава — один из основателей Общества Святого Илии Праведника (Ильи Чавчавадзе). Был апологетом идеи нового понимания Евангелия. Предполагал осуществить свой перевод Евангелия на грузинский язык. Был организатором многих выступлений, в том числе демонстрации 9 апреля 1989 в Тбилиси, закончившейся кровавым разгромом демонстрации советскими войсками.
Был активным участником «Самиздата», одним из издателей подпольной газеты «Окрос сацмиси» («Золотое руно»). Автор ряда научных работ и литературных произведений. Поддерживал активные контакты с Андреем Сахаровым.
Погиб в автокатастрофе при неясных обстоятельствах у села Борити (ныне Харагаульский муниципалитет). Похоронен в Пантеоне общественных деятелей на горе Мтацминда, на месте его гибели установлен мемориал.
