После занятий с ученицей Павла Чистякова В. Я. Тарасовой поступил на художественно-графический факультет Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина, окончил в 1963 г. Занимался книжной графикой, работал для издательства «Молодая гвардия». В 1972 г. эмигрировал, жил в Израиле, во Франции, в Нью-Йорке.
Работы Купера хранятся в Государственной Третьяковской галерее, Музее Метрополитен, в коллекциях Министерства культуры Франции, Библиотеки конгресса США и др. У Юрия Купера прошло более 50 персональных выставок, в том числе в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве, галерее Клод-Бернар в Париже, галерее Яна Кружье в Женеве и др.
Работал также для театра. Сценография спектакля «Борис Годунов» в Большом театре в постановке Александра Сокурова номинирована на премию «Золотая маска» (2008).
Выпустил книгу «Московский натюрморт» (Нью-Йорк, 1975). Подготовил к изданию альбом произведений Рустама Хамдамова (М.: СканРус, 2004), с которым был дружен:
Автор пьесы «Двенадцать картин из жизни художника», поставленной в МХТ имени А. П. Чехова.
Юрий Купер является проектировщиком интерьеров Воронежского государственного академического театра драмы им. А.В. Кольцова. За стилевое решение современного оформления принят интерьер периода "Городского зимнего театра" (XIX век.), благодаря такому дизайну сохранится историческая и художественная ценность этого памятника архитектуры.
