Происходил из солдатских детей и сначала состоял в числе учеников Императорской шпалерной мануфактуры, а потом был принят в императорский театр. Когда и как произошло это счастливое событие, различные источники освещают по разному: Энциклопедия «Кругосвет» и другие уверяют: 1 декабря 1799 г. был принят в труппу с жалованьем 250 руб. в год, при казенной квартире с дровами. Другие источники настаивают: был принят на Петербургскую сцену 21 декабря 1799 г. на амплуа благородных отцов, с жалованьем 1800 р. и ежегодным бенефисом. «Большая биографическая энциклопедия» на всякий случай выдает оба варианта. Все сходятся в одном: в самом конце 1799 Елисей Петрович Бобров был принят на казенную работу в императорскую драматическую труппу.
Поначалу исполнял в трагедиях и комедиях роли тиранов и наперсников. Но в связи со смертью В. Ф. Рыкалова, случившейся 9 января 1813 г., князь Шаховской распорядился перевести Боброва в комики и передать ему комические роли В. Ф. Рыкалова. Существует легенда о произошедшем между ними таком разговоре:
Шаховской разглядел в Боброве врожденный комический талант. Даже его неуклюжая, толстая фигура и простоватое лицо с оттенком наивного добродушия как нельзя лучше подходили к комедийным ролям. Действительно, превосходным исполнением комических сцен Бобров создал себе славу первого русского комика первой четверти 19 столетия, величину таланта которого сравнивали с великим московским артистом Щепкиным. Современники утверждали: когда в 1825 г. в Санкт-Петербург приезжал М. С. Щепкин, в кружке театральном сопоставляли игру обоих комиков, как равных по силе дарования, не отдавая решительного предпочтения Щепкину перед Бобровым. Тем не менее историческая несправедливость привела к тому, что имя Михаила Семеновича Щепкина навсегда осталось в истории русского театра неоднократно запечатленное, а имя Елисея Петровича Боброва время безжалостно стерло из памяти следующих поколений.
«Личности мольеровских простаков подходили к его простоватой фигуре и добродушной физиономии», — вспоминал П. А. Каратыгин. Никогда не прибегая к фарсу, Бобров вникал в характер своего персонажа. Наследуя роли В. Ф. Рыкалова, он никогда не прибегал к эксцентрике, фарсовым приемам, которыми изобиловали приемы его предшественника, а искал свои естественные формы выражения.
В общей сложности Елисей Петрович Бобров проработал на сценах Санкт-Петербурга и время от времени приезжая с выступлениями в Москву 30 лет, играя в пьесах Мольера, Загоскина, Шаховского, Капниста, Бомарше и других авторов времени.
Похоронен Е. П. Бобров на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. Среди ролей в пьесах:
- «Мещанин во дворянстве» Мольера,
- «Чванство Транжирина» А. Шаховского,
- «Богатонов, или Провинциала в столице» Загоскина — Богатонов,
- «Ссоры, или Два соседа» В. В. Капниста,
- «Ябеда» В. В. Капниста,
- «Вечеринки ученых» Загоскина — Волгин,
- «Добрый малый» Загоскина — Ладов
- «Недоросль» Д. И. Фонвизина — Скотинин
- «Бригадир» Д. И. Фонвизина
- «Школа злословия» Р. Б. Шеридана
